１自由度振動系のお話 その２
１自由度振動系のお話 その１ - メカトロニックなカメの続き
復習
質量を\(m\)[kg]、ばね定数を\(k\)[N/m]、減衰係数を\(c\)[Ns/m]、位置を\(x(t)\)[m]、外力を\(f(t)\)[N]とすると、一自由度マスばねダンパ系の運動方程式は下記のようになります。
\begin{align} m\cfrac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx(t)=f(t) \end{align}
上式を無次元化した運動方程式は次式のようになります。
\begin{align} \cfrac{d^2\tilde{x}}{d\tilde{t}^2}+2\zeta\frac{d\tilde{x}}{d\tilde{t}}+\tilde{x}(\tilde{t})=\tilde{f}(\tilde{t}) \end{align}
この運動方程式に正弦波の外力\(\tilde{f}_0\sin(\alpha\tilde{t})\)を与えたときの応答は次式のようになります。
\begin{align}\tilde{x}(\tilde{t})=&\cfrac{\tilde{f}_0}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2}}\sin\left(\alpha\tilde{t}+\cos^{-1}\left(\cfrac{1-\alpha^2}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2}}\right)\right)\\&+C_1e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}+C_2e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}\end{align}
周波数応答(Frequency response)
今回は右辺第一項の周期的な成分にのみ着目します。というのも第二項、第三項に含まれる\(-(\zeta\pm\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}\)の実部は必ず負であるため、\(e^{-A\tilde{t}}(A>0)\)は時間とともに0に収束します。よって、十分に長い時間周期的な外乱を与えたときは第一項しか残りません。
\begin{align}\tilde{x}(\tilde{t})&=\cfrac{\tilde{f}_0}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2}}\sin\left(\alpha\tilde{t}+\cos^{-1}\left(\cfrac{1-\alpha^2}{\sqrt{(1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2}}\right)\right)\\&=\tilde{f}_0X(\alpha)\sin\left(\alpha\tilde{t}+\Theta(\alpha)\right)\end{align}
この式は元の外乱\(\tilde{f}_0\sin(\alpha\tilde{t})\)に対して、振幅が\(X(\alpha)\)倍、位相が\(\Theta(\alpha)\)だけずれていることを意味します。\(X(\alpha)\)の部分は振幅倍率とも呼ばれます。何に対しての倍率かというと、周波数がゼロの外乱、つまり\(\alpha=0\)で定数な外乱を与えたときの位置\(\tilde{x}\)を1としたとき倍率です。
この振幅倍率と位相差を無次元化周波数\(\alpha\)の周波数応答と呼び、図１のように振幅倍率と位相差を縦に並べたものを、制御工学ではボード(Bode)線図と呼びます。
図１より、振幅倍率が無次元化周波数が１付近で極大値を取っています。次にこの振幅倍率が最大となる無次元化周波数を求めてみましょう。
振幅倍率\(X(\alpha)\)が最大となる条件は\((1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2\)が最小となるときです。つまり振幅倍率が最大となる無次元化周波数\(\alpha_{xpeak}\)は次式のように表されます。
\begin{align}\left.\cfrac{d}{d\alpha}\left((1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2\right)\right|_{\alpha=\alpha_{xpeak}}&=0\\\left.\cfrac{d\alpha^2}{d\alpha}\cfrac{d}{d\alpha^2}\left((1-\alpha^2)^2+4\zeta^2\alpha^2\right)\right|_{\alpha=\alpha_{xpeak}}&=0\\2\alpha_{xpeak}\left(-2(1-\alpha_{xpeak}^2)+4\zeta^2\right)&=0\\\alpha_{xpeak}^2&=1-2\zeta^2\end{align}
つまり\(\zeta<1/\sqrt{2}\approx0.707\)の時、振幅倍率\(X(\alpha)\)は次式の無次元化周波数で極大値を持ち、その時の振幅倍率\(X(\alpha_{xpeak})\)と位相差\(\Theta(\alpha_{xpeak})\)は次式のように得られる。
\begin{align}\alpha_{xpeak}&=\sqrt{1-2\zeta^2}\\X(\alpha_{xeak})&=\cfrac{1}{2\zeta\sqrt{(1-\zeta^2)}}\\\Theta(\alpha_{xpeak})&=\cos^{-1}\left(\cfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)\end{align}
また、位相差\(\Theta(\alpha)\)が90degとなるような、無次元化周波数は\(\alpha=1\)の時であることは、簡単に確認することができる。つまり、位相差が90degずれるのは、振動系の固有周波数のときのみである。
このように、振幅倍率が極大となる周波数は一般に固有周波数と異なり、位相差が90degずれる周波数は固有周波数と一致するといった特徴が見受けられた。
過渡応答(Transient response)
先ほどまでは、一定周波数の外乱を与えたときの定常応答を観察しました。今度は定常応答以外の成分、過渡応答に着目します。過渡応答成分のみ抜き出すと次式のようになります。
\begin{align}\tilde{x}(\tilde{t})=C_1e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}+C_2e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}\end{align}
\(\zeta>1\)の場合、この過渡応答は単なる指数関数の重ね合わせになるため、振動的にならない。逆に\(\zeta<1\)の場合、指数部に虚数が現れるためオイラーの等式を用いて整理すると下記のように表されます。
\begin{align}\tilde{x}(\tilde{t})&=e^{-\zeta\tilde{t}}\left(C_1'\sin\left(\sqrt{1-\zeta^2}\tilde{t}\right)+C_2'\cos\left(\sqrt{1-\zeta^2}\tilde{t}\right)\right)\\&=X'e^{-\zeta\tilde{t}}\sin\left(\sqrt{1-\zeta^2}\tilde{t}+\Theta'\right)\end{align}
このように、無次元化周波数\(\alpha_{damp}=\sqrt{1-\zeta^2}\)で振動しながら、\(e^{-\zeta\tilde{t}}\)の減衰率で過渡応答が0に収束していくことがわかる。この減衰しながら振動する周波数を（無次元化された）減衰固有周波数と呼ばれます。この時の振幅倍率\(X(\alpha_{damp})\)と位相差\(\Theta(\alpha_{damp})\)は次式のように得られる。
\begin{align}X(\alpha_{damp})&=\cfrac{1}{\zeta\sqrt{(4-3\zeta^2)}}\\\Theta(\alpha_{damp})&=\cos^{-1}\left(\cfrac{\zeta}{\sqrt{4-3\zeta^2}}\right)\end{align}
少し脱線するが、 この振動的な過渡応答が1周期ごとにどれだけ振幅が減衰するかを表す指標に対数減衰率というものがある。過渡応答の1周期は\(T=1/\sqrt{1-\zeta^2}\)であるため、\(\tilde{t}=\tilde{t}_0\)の時の振幅と\(\tilde{t}=\tilde{t}_0+T\)の時の振幅の比の自然対数を対数減衰率\(\delta\)と呼び、次式のように表せる。
\begin{align}\delta&=\ln\left(\cfrac{\tilde{x}(\tilde{t}_0)}{\tilde{x}(\tilde{t}_0+T)}\right)\\&=\ln\left(\cfrac{X'e^{-\zeta\tilde{t}_0}\sin\left(\sqrt{1-\zeta^2}\tilde{t}_0+\Theta'\right)}{X'e^{-\zeta(\tilde{t}_0+T)}\sin\left(\sqrt{1-\zeta^2}(\tilde{t}_0+T)+\Theta'\right)}\right)\\&=\cfrac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\end{align}
この対数減衰率は実験的に求めやすく、減衰が小さい振動系の場合\(\delta\approx\zeta\)とみなすことができるため、減衰比の推定によく用いられる。
速度・加速度の場合
最後に位置の一階微分である速度、二階微分である加速度についても着目してみる。周波数応答成分は次式のようになる。
\begin{align}\cfrac{d\tilde{x}}{d\tilde{t}}&=\tilde{f}_0\alpha X(\alpha)\cos\left(\alpha\tilde{t}+\Theta(\alpha)\right)\\\cfrac{d^2\tilde{x}}{d\tilde{t}^2}&=-\tilde{f}_0\alpha^2 X(\alpha)\sin\left(\alpha\tilde{t}+\Theta(\alpha)\right)\end{align}
微分するごとに振幅倍率\(X(\alpha)\)に無次元化周波数\(\alpha\)が掛けられていき、位相差は変化しない。また過渡応答成分は次式のようになる。
\begin{align}\cfrac{d\tilde{x}}{d\tilde{t}}&=C_3e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}+C_4e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}\\\cfrac{d^2\tilde{x}}{d\tilde{t}^2}&=C_5e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}+C_6e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\tilde{t}}\end{align}
過渡応答成分は初期値に関する定数が変化するのみで、時間に関する項は変化しない、つまり振動の周期は変化しないことがわかる。
微分することで振幅倍率が変わるため、振幅倍率が最大となる周波数も変化する。計算の過程は省略するが、速度の振幅倍率が最大となる無次元周波数\(\alpha_{vpeak}\)と加速度の振幅倍率が最大となる無次元化周波数\(\alpha_{apeak}\)は次式のようになる。
\begin{align}\alpha_{vpeak}&=1\\\alpha_{apeak}&=\cfrac{1}{\sqrt{1-2\zeta^2}}\end{align}
まとめ
以上のことより、一自由度振動系の無次元化された（無減衰）固有周波数\(\alpha_0\)と、周波数応答における位置、速度、加速度に関する振幅倍率が最大となる無次元化周波数\(\alpha_{xpeak}\),\(\alpha_{vpeak}\),\(\alpha_{apeak}\)、無次元化された減衰固有周波数\(\alpha_{damp}\)には、次の関係式が存在する。
\begin{align}\alpha_{xpeak}\leq\alpha_{damp}\leq\alpha_0=\alpha_{vpeak}\leq\alpha_{apeak}\\\sqrt{1-2\zeta^2}\leq\sqrt{1-\zeta^2}\leq1=1\leq\cfrac{1}{\sqrt{1-2\zeta^2}}\end{align}
同じ一自由度振動系の中にも4つの特徴的な周波数が見られるといった不思議な現象が発見できました。
