ヒステリシス減衰におけるモード分解と周波数特性
前準備
\(\boldsymbol{M}\)を質量行列、\(\boldsymbol{C}\)を減衰行列、\(\boldsymbol{K}\)を剛性行列、\(\boldsymbol{x}\)を位置ベクトル、\(\boldsymbol{f}\)を外力ベクトルとしたとき多自由度振動系の運動方程式は次式のように表される。
\begin{align} \boldsymbol{M}\cfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}+\boldsymbol{C}\cfrac{d\boldsymbol{x}}{dt}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f} \end{align}
このとき、剛性行列に相当する部分がゴムのような高分子化合物である場合、ヒステリシス減衰（複素剛性、構造減衰とも）が発生する。ヒステリシス減衰を考慮した運動方程式は次式のようになる。
\begin{align} \boldsymbol{M}\cfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}+\boldsymbol{C}\cfrac{d\boldsymbol{x}}{dt}+\boldsymbol{K}\left(\boldsymbol{I}+i\boldsymbol{G}\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f} \end{align}
\(\boldsymbol{G}\)は損失係数で構成された行列、\(i\)は虚数単位である。
モード分解
ヒステリシス減衰がない場合と同様の手順でモード分解を行う。まずは次式の一般固有値問題の解である変換行列\(\boldsymbol{T}\)を求める。
\begin{align} \boldsymbol{M}\boldsymbol{T}\boldsymbol{\Omega}^2=\boldsymbol{K}\boldsymbol{T}\end{align}
変換行列\(\boldsymbol{T}\)と変位ベクトルを\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T}\boldsymbol{\phi}\)のように変換すると、以下のようにモード分解された運動方程式が得られる。
\begin{align} \boldsymbol{T}^\textrm{T}\boldsymbol{M}\boldsymbol{T}\cfrac{d^2\boldsymbol{\phi}}{dt^2}+\boldsymbol{T}^\textrm{T}\boldsymbol{C}\boldsymbol{T}\cfrac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}+\boldsymbol{T}^\textrm{T}\boldsymbol{K}\left(\boldsymbol{I}+i\boldsymbol{G}\right)\boldsymbol{T}\boldsymbol{\phi}=\boldsymbol{T}^\textrm{T}\boldsymbol{f}\\\boldsymbol{\bar{M}}\cfrac{d^2\boldsymbol{\phi}}{dt^2}+\boldsymbol{\bar{C}}\cfrac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}+\left(\boldsymbol{\bar{K}}+i\boldsymbol{T}^\textrm{T}\boldsymbol{G}\boldsymbol{T}\right)\boldsymbol{\phi}=\boldsymbol{T}^\textrm{T}\boldsymbol{f}\end{align}
ここで損失係数行列である\(\boldsymbol{G}\)は対角化できるか、2自由度振動系のを例に考えてみる。2自由度振動系の剛性行列は次のように表せる。
\begin{align}\boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{cc}k_1+k_{12}&-k_{12}\\-k_{12}&k_{12}+k_2\end{array}\right]\end{align}
それぞれの剛性係数に損失係数が含まれていると考えると、ヒステリシス減衰を含んだ剛性行列は次のようになる。
\begin{align}\boldsymbol{K}\left(\boldsymbol{I}+i\boldsymbol{G}\right)&=\left[\begin{array}{cc}k_1(1+ig_1)+k_{12}(1+ig_{12})&-k_{12}(1+ig_{12})\\-k_{12}(1+ig_{12})&k_{12}(1+ig_{12})+k_2(1+ig_{2})\end{array}\right]\\&=\left[\begin{array}{cc}k_1+k_{12}&-k_{12}\\-k_{12}&k_{12}+k_2\end{array}\right]+i\left[\begin{array}{cc}g_1+g_{12}&-g_{12}\\-g_{12}&g_{12}+g_2\end{array}\right]\end{align}
上式より損失係数行列と剛性行列は必ずしも比例関係を満たさないことがわかる。よって減衰行列と同様、損失係数行列が質量行列や剛性行列と比例関係にあるという仮定を満たせば、モード分解が可能である。
周波数特性
上記で表したヒステリシス減衰は周波数特性上で近似された式である。実際に周波数特性がどうなるか確認してみよう。簡単のためここでは1自由度振動系の場合を考える。
\begin{align} m\cfrac{d^2x}{dt^2}+c\cfrac{dx}{dt}+k\left(1+ig\right)x=f \end{align}
周波数特性を考える際に上記の微分方程式を解く方法もあるが、別の方法を用いる。まず外力に\(f=Fe^{i\omega t}\)を代入する。これはオイラーの等式を用いると次式のようになる。
\begin{align} f=Fe^{i\omega t}=F\cos \omega t+Fi\sin \omega t\end{align}
上式の虚部は実際には発生しえない力である。しかし周波数特性を考える際に、位相差に相当する虚部を抽出するために必要な操作である。上式を代入し、その時の解が\(x=Xe^{i\omega t}\)とすると、次式が得られる。
\begin{align} X\left(-m\omega^2+ic\omega+k\left(1+ig\right)\right)e^{i\omega t}=Fe^{i\omega t}\end{align}
上式を満たす\(X\)は次式のようになる。
\begin{align} X=\cfrac{F}{-m\omega^2+ic\omega+k\left(1+ig\right)}\end{align}
上式は複素数を含んでおり、やや扱いが難しい。そこで次のような手順で変形を加えていく。ここで式の見通しをよくするため、一旦分母は\(a+ib\)とする。
\begin{align} X&=\cfrac{F}{a+ib}\\&=\cfrac{F}{a^2+b^2}(a-ib)\\&=\cfrac{F}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}\left(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}-i\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\&=\cfrac{F}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(\cos \Theta-i\sin \Theta\right)\\&=\cfrac{F}{\sqrt{a^2+b^2}}e^{-i\Theta}\end{align}
元々の解が\(x=Xe^{i\omega t}\)であるため、解\(x\)は次式のようになる。
\begin{align} x&=\cfrac{F}{\sqrt{a^2+b^2}}e^{-i\Theta}e^{i\omega t}\\&=\cfrac{F}{\sqrt{a^2+b^2}}e^{i\left(\omega t-\Theta\right)}\end{align}
このように外力\(f=Fe^{i\omega t}\)を加えたときの解は、上式のように大きさが\(\cfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\)倍され、位相が\(\Theta=\cos^{-1}\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)だけ遅れる応答が得られる。つまり無次元化すると振幅倍率は次のようになる。
\begin{align} \cfrac{kX}{F}&=\cfrac{k}{\sqrt{\left(k-m\omega^2\right)^2+\left(c\omega+kg\right)^2}}\\&=\cfrac{1}{\sqrt{\left(1-\alpha^2\right)^2+\left(2\zeta\alpha+g\right)^2}}\end{align}
\(\alpha=\omega/\omega_0, \omega_0=\sqrt{k/m}, \zeta=c/2\sqrt{mk}\)である。ヒステリシス減衰がない場合と違い、減衰項に\(g\)が無次元化周波数\(\alpha\)に依存せずに加わっていることに大きな違いがある。これを図に表すと図1のようになる。
図1からわかるように損失係数が大きくなると、振幅倍率はピークが小さくなるだけでなく低周波も小さくなっていくことが特徴である。一方減衰係数が大きくなる場合ではピークが小さくなるのみで低周波は変化しない。ここがヒステリシス減衰を含む振動系の特徴である。
